\documentclass[a4paper, 12pt]{amsart}   

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[polish]{babel}

       
\author[I. Nazwisko]{Imie Nazwisko}

\address{UWM w Olsztynie} 
\email{NumerAlbumu@student.uwm.edu.pl}

\title[Kolokwium]{Kolokwium 23.11.2021. Wariant 1}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{Tekst}
{\Huge W tym dokumencie są {\textbf{pięc}} części, odpowiadających rożnym tematom, związanym z \LaTeX}. \texttt{W pierwszej części chodzi o rozmiar oraz typ czcionki}.  \textsl{W drugiej -- o wzorach, potem macierzy, spisy i tabele}. 
\section{Wzory}
Niech $\Phi=\sum\limits_{k=1}^{5} 2k^2$. Przypominamy, ze to oznacza, ze
\begin{equation}\label{wzor}
\begin{split}
\sum\limits_{k=1}^{5} 2k^2&=2\cdot 1^2+2\cdot 2^2+2\cdot 3^2+2\cdot 4^2+2\cdot 5^2\\
&=2+8+18+32+50\\
&=110
\end{split}
\end{equation}
Ze wzoru \eqref{wzor} wynika, ze $\Phi=110$.  Oznaczymy $\varphi=\sqrt[2] \Phi$. Wtedy $\varphi=\sqrt {\sum_{k=1}^{5} 2k^2}=\sqrt[2]{110}=\sqrt{110}$.

\section{Macierzy}
\textit{Macierz\k{a}} nazywa się układ liczb, symboli lub wyrażeń, zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Na przykład, 
\begin{equation*}
A=
\left(\begin{array}{cc}
2&4 \\
3&5
\end{array}\right)\mbox{ oraz }
B=
\left(\begin{array}{cc}
-2&-4 \\
-3&100
\end{array}\right).
\end{equation*}
Macierzy o tych samych wymiarach możemy dodawać do siebie, 
\begin{equation*}
A+B=
\left(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&105
\end{array}\right)
\end{equation*}
skąd wynika, ze \underline{wyznacznik} nowej macierzy równa się 0: 
\begin{equation}
\det (A+B)=0.
\end{equation}

Układ równań 
\begin{equation}
\begin{cases}
2x+y=3\\
x+y=2
\end{cases}
\end{equation}
tez można zapisać w postaci macierzy: $\left(\begin{array}{cc}
2&1\\
1&1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
3\\
2
\end{array}\right)$. Rozwiązaniem tego równania będą $x=y=1$.



\section{Spis}
Lista przedmiotów:
\begin{enumerate}[label=\{\Alph*\}]
\item
Matematyka
\item
Języki:
\begin{enumerate}[label=\{\alph*\}]
 \item polski
 \item angielski
\end{enumerate}
\item Historia  
\item Biologia
\end{enumerate}
\section{Tabela}
\begin{figure}[h]
\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
No&\textbf{Przedmiot}&\textbf{Ilość uczni}\\
\hline
1&Matematyka&24\\
\hline
2&Język angielski&20\\
\hline
3&Język polski&30\\
\hline
4&Historia&\textit{brak}\\
\hline
5&Biologia&15\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Ilość uczni na przedmiotach}
\end{figure}
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
