Geometria różniczkowa I

Celem wykładu jest przedstawienie podstaw geometrii różniczkowej ze szczególnym uwzględnieniem teorii krzywych i powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej
 
Wymagania wstępne

Podstawowa wiedza z algebry liniowej i analizy matematycznej funkcji jednej i dwóch zmiennych rzeczywistych


Program wykładu

• Krzywa sparametryzowana i łuk sparametryzowany, punkty osobliwe i wielokrotne krzywych

• Długość krzywej, parametr długości łuku, prosta styczna

• Krzywizna, okrąg ściśle styczny i środek krzywizny krzywej płaskiej

• Krzywe płaskie dane równaniem uwikłanym, obwiednia rodziny krzywych płaskich

• Krzywe w przestrzeni trójwymiarowej: krzywizna, torsja, równania Freneta, okrąg ściśle styczny i płaszczyzna ściśle styczna

• Płat sparametryzowany i powierzchnia w przestrzeni, regularność punktu powierzchni w danej parametryzacji

• Powierzchnie dane w sposób uwikłany, płaszczyzna styczna, orientacja powierzchni, kąt przecięcia krzywej z powierzchnią

• Krzywe na powierzchni I, wektory styczne, metryka na powierzchni, pole płata

• Operator kształtu, krzywizny powierzchni, równania Gaussa-Weingartena i symbole Christoffela, pochodna kowariantna na powierzchni

• Równania Gaussa (theorema egregium) i Mainardiego-Codazzi

• Krzywe na powierzchni II: krzywizny normalna i geodezyjna krzywej, linie geodezyjne, linie krzywiznowe i linie asymptotyczne

• Podstawowe wiadomości o geometrii wewnętrznej w wyższych wymiarach: rozmaitości różniczkowalne, metryka i pochodna kowariantna, linie geodezyjne, krzywizna

Literatura

1. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, 2002.
2. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, 1965.
3. O. Karwowski, Zbiór zadań z geometrii różniczkowej, WNT, 1971.
4. B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, PWN, 1982.