Geometria różniczkowa

Celem wykładu jest przedstawienie podstaw współczesnej (lokalnej) geometrii różniczkowej.
 
Wymagania wstępne

Podstawowa wiedza z algebry liniowej, analizy matematycznej funkcji wielu zmiennych rzeczywistych oraz topologii. Pożądane jest posiadanie intuicji wyniesionych z wykładu o geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni w przestrzeni euklidesowej.

UWAGA: Ze względu na różnice programowe obecny wykład obejmuje również podstawy teorii powierzchni w E³. Z konieczności zmniejszono objętość materiału bardziej zaawansowanego.

Program wykładu

• Elementy teorii krzywych przestrzennych: parametr naturalny krzywej, krzywizna i torsja krzywej, równania Freneta.

• Powierzchnie w E³ : powierzchnie regularne i odwzorownie Gaussa, operator kształtu Weingertena i krzywizny powierzchni, równania Gaussa-Weingertena i Gaussa-Mainardi-Codazzi, formy fundamentalne, podstawowe twierdzenie teorii powierzchni.

• Geometria wewnętrzna powierzchni: Theorema Egregium Gaussa, pole płata, krzywizna geodezyjna krzywej na powierzchni, geometrie nieeuklidesowe.

• Pojęcie rozmaitości różniczkowalnej.

• Pola wektorowe.

• Grupy Liego.

• Wiązki.

• Koneksja, krzywizna i torsja, pochodna kowariantna, geodezyjne

• Struktury na rozmaitości: (pseudo-)riemannowska, zespolona, symplektyczna.

Literatura

1. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, 2002.

2. 2. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, 1965.

3. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa, 1987

4. P.G. Walczak, W. Waliszewski, Geometria różniczkowa w zadaniach, PWN, Warszawa, 1981.